一桩发生于万历年间的审判，掀起了一场震动江南的风波，还与朝廷即将全面推行的土地清丈和均平税赋政策牵扯起来⋯⋯网剧《显微镜下的大明之丝绢案》除了讲述江南丝绢案始末，其中，高效率的「推步聚顶之术」更展现算术之奇，距今百年前的明朝，数学水平真的如此高超吗？

今年二月份，爱奇艺网剧《显微镜下的大明之丝绢案》首播，剧中多次呈现一种神奇的「推步聚顶之术」，用于测量那些形状极不规整的「妖田」。面对妖田，常用的测量方法和面积公式都派不上用场，只有使出推步聚顶之术，才能又快又准地解决问题。

本剧以明朝为历史背景，明朝真的有过推步聚顶之术吗？我们不妨一边回顾剧情一边回看历史，探讨一下明朝的土地清丈和相关的数学技能。

一场因丝绢引发的风暴

故事发生在明朝中叶，主角叫帅家默，金安府金华县人，父母双亡，性格自闭，丝毫不通人情世故，但却极具数学天分，故此得名「算呆子」。

 ©《显微镜下的大明之丝绢案》官微

帅家默查阅官府档案时，偶然发现金华百姓每年要缴纳三千五百三十两白银的「人丁丝绢税」，已经连缴一百多年，而在金安府治下八个县当中，这笔税赋只有金华一县承担，其他七县均未分摊。帅家默向金华知县揭露此事，知县不理，他便去知府衙门和巡按衙门提告，却掀起震动江南的一场风波，还与朝廷即将全面推行的土地清丈和均平税赋政策牵扯起来⋯⋯

明朝算术，好比艺术

有必要说明的是，本剧总编剧马伯庸仔细研究过《丝绢全书》，他先根据《丝绢全书》创作历史随笔，使其成为《显微镜下的大明》一书的第一篇章，又在历史随笔的基础上写出这部同名网剧。

马伯庸不仅擅长讲故事，也擅长读历史，从剧中出现的计算道具和测量道具可以看出，他必定参考了明朝中叶最流行的数学书籍《算学宝鉴》和《算法统宗》。比如说，每集片头都有一个镜头，用红、黄、绿三色的小木棒和草茎组成「 」符号，其中小木棒是明朝及明朝以前数学家常用的算筹，而这组用小木棒和草茎组成的符号就相当于数字三五三〇。再比如第十集，主角帅家默使用一些奇怪的符号做计算，那些符号在明朝叫「账码」，是阿拉伯数字普及以前中国数学家普遍使用的数字系统。

又比如说，帅家默测量土地时，常用一种仿佛现代风筝线轮的放线工具，其样式在《算法统宗》中绘有插图，是明朝数学家程大位发明的「新丈量步车」。还有本剧第七集，帅家默与同样爱好数学的邓知县探讨土地丈量之术，提到「广田」、「圭田」、「箕田」、「弧田」，这些术语在明朝数学书籍里都很常见，分别指长方形地块、三角形地块、梯形地块、扇形地块。

「妖田」难敌数学奇才

长方形、三角形、梯形、扇形，都有现成的面积公式，易于测量和计算，但如果遇到剧中所说的「妖田」，那就很难办了。妖田这个词，现存的明朝数学书籍里并未出现，元朝《农书》里倒是有，是指灌溉之后迅速干涸的农田，与剧中涵义并不相同。编剧可能是从《农书》里借用了这个词，也可能是碰巧创造了一个同音但不同义的概念，表示形状极不规则的多边形地块。

古人怎样测量不规则地块的面积呢？通常使用「割补之术」：先将地块补成长方形，再切割成一个个三角形，汇总出所有三角形的面积，再减去所补图形的面积，即是该地块的真实面积。在第七集，帅家默与邓知县比赛计算同一块妖田的面积，都不约而同地使用割补之术，而帅家默的心算能力更好，从速度而不是计算方法上击败了邓知县。有没有比割补之术更好的方法呢？帅家默隐约记得，小时候曾听父亲帅敦诚讲过一种无需割补、直接测量的技术，也就是贯穿本剧的推步聚顶之术，至于技术细节，他实在记不得了。直到第十四集，他突然想通父亲当年的算法，还背诵出推步聚顶的口诀：「先牵经纬以衡量，再点原初标步长。田形取顶分别数，再算推步知地方。」

单凭这四句口诀，我们肯定搞不懂推步聚顶究竟是怎么一回事，然而参照剧中的操作，就能看出端倪。剧中帅家默丈量一块最难计算的妖田，他先在该妖田的每一个顶点打桩，接著横平竖直地拉开绳尺，以绳尺左侧交汇处为原点，分别测算各个顶点到原点的长宽步数，将这些数字成对排列，交叉计算⋯⋯